Filho de aristocratas açorianos, formou-se doutor em leis pela Universidade de Coimbra. Iniciou a carreira como juiz do crime do bairro da Ribeira, em Lisboa. Em 1802, aos 27 anos, foi nomeado ouvidor das justiças de Macau, autoridade máxima da Coroa na pequena colônia portuguesa no sul da China. Seu governo foi marcado por constantes confrontos em torno do comércio do ópio com os mandarins e pela crescente pressão britânica na região. Arriaga, atuando como mediador, foi responsável pela retirada de tropas inglesas que haviam invadido Macau, o que evitou possíveis conflitos entre a China e a Inglaterra. No entanto, seu maior feito militar, foi a organização de uma esquadra luso chinesa com o objetivo de derrotar os piratas mandarins conhecidos como Tigre dos Mares, que atravancavam o comércio marítimo na região. O ouvidor empenhou-se pessoalmente no preparo da expedição e, em 1810, conseguiu a rendição de Cam Pau Sai, líder dos piratas. Arriaga também foi responsável pelo envio de trabalhadores chineses das diversas artes durante o período em que a Corte esteve estabelecida no Rio de Janeiro, além de espécimes de plantas e chás da região. Foi do Conselho de Sua Majestade e da Real Fazenda, alcaide-mor da vila da Horta, ilha do Faial; em 1816, nomeado conselheiro da Fazenda; comendador das Ordens de Cristo, Conceição e Torre e Espada; fidalgo cavaleiro da Casa Real; desembargador dos agravos da Casa da Suplicação do Brasil, e ouvidor-geral.